1 Gardat

Mittelwertsatz Differentialrechnung Beispiel Essay

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Satz 5227V (Mittelwertsatz)

Sei \(\displaystyle f\) eine im abgeschlossenen Intervall \(\displaystyle [a,b]\) stetige Funktion und im offenen Intervall \(\displaystyle ]a,b[\) differenzierbar, dann gibt es ein \(\displaystyle x_0\in ]a,b[\) mit:

Andere Formulierung

Sei \(\displaystyle f:]a,b[\rightarrow \R\) auf differenzierbar; \(\displaystyle x,\, x+h\in ]a,b[\). Dann gibt es ein \(\displaystyle 0<\vartheta<1\), so dass

\(\displaystyle f(x+h)-f(x)=f'(x+\vartheta h)\, h\)

Geometrische Deutung

Der auf der rechten Seite von (1) stehende Ausdruck entspricht dem Anstieg der Sekante durch die Punkte \(\displaystyle (a;f(a))\) und \(\displaystyle (b;f(b))\). Der Satz sagt nun aus, dass es einen Punkt \(\displaystyle x_0\in[a,b]\) gibt, so dass der Anstieg der Tangente an die Kurve in diesem Punkt dem Anstieg der Sekante entspricht. Geometrisch ist die Tangente dann also parallel zur Sekante.

Beweis

Wir definieren eine Hilfsfunktion:

Für diese Funktion gilt: \(\displaystyle g(a)=f(a)\) und

\(\displaystyle g(b)=f(b)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(a)\).

Damit erfüllt \(\displaystyle g\) alle Voraussetzungen für den Satz von Rolle und es gibt ein \(\displaystyle x_0\in]a,b[\) mit \(\displaystyle g'(x_0)=0\). Damit ist aber

Folgerung 16MC

Sei \(\displaystyle I\) ein Intervall und \(\displaystyle f: I\to \R\) sei differenzierbar auf \(\displaystyle I\). Dann gilt: \(\displaystyle f\) ist konstant auf \(\displaystyle I\) \(\displaystyle \;\Leftrightarrow\; f'=0\) auf \(\displaystyle I\).

Beweis

"\(\displaystyle \Rightarrow\)": klar wegen \(\displaystyle f\, '(c)=0\)."\(\displaystyle \Leftarrow\)": Seien \(\displaystyle a,b\in I\) und \(\displaystyle a<b\). Nach dem Mittelwertsatz existiert ein \(\displaystyle \xi\in (a,b)\) mit

\(\displaystyle \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow\; f(a)=f(b)\;\)\(\displaystyle \Rightarrow\;f \) ist konstant, da \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) beliebig gewählt. \(\displaystyle \qed\)

Satz 5227W (Verallgemeinerter Mittelwertsatz)

Seien \(\displaystyle f\) und \(\displaystyle g\) in \(\displaystyle [a,b]\) stetige Funktionen und in \(\displaystyle ]a,b[\) differenzierbar, \(\displaystyle g\) habe in \(\displaystyle ]a,b[\) keine Nullstellen, dann gibt es ein \(\displaystyle x_0\in ]a,b[\) mit

Beweis

Wir definieren eine Hilfsfunktion:

Es gilt

\(\displaystyle h(a)=[f(b)-f(a)]g(a)-[g(b)-g(a)]f(a)=f(b)g(a)-f(a)g(b)\)

und

Damit sind für die Funktion \(\displaystyle h\) die Voraussetzungen des Satzes von Rolle erfüllt und es gibt ein \(\displaystyle x_0\in ]a,b[\) mit \(\displaystyle h'(x_0)=0\). Nun ist

\(\displaystyle h'(x)=[f(b)-f(a)]g'(x)-[g(b)-g(a)]f\, '(x)\)

und

und nach einer einfachen Umformung ergibt sich die Behauptung. \(\displaystyle \qed\)

Ein Mathematiker, der nicht irgendwie ein Dichter ist, wird nie ein vollkommener Mathematiker sein.

Karl Weierstraß

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.

Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе

Datenschutzerklärung

 

(1)

\(\displaystyle f\, '(x_0)=\, \dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}\)

\(\displaystyle g(x):=f(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\).

\(\displaystyle f\, '(x_0)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\). \(\displaystyle \qed\)

\(\displaystyle \dfrac {f\, '(x_0)}{g'(x_0)}=\, \dfrac {f(b)-f(a)} {g(b)-g(a)}\).

\(\displaystyle h(x):=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x)\).

\(\displaystyle h(b)=[f(b)-f(a)]g(b)-[g(b)-g(a)]f(b)=f(b)g(a)-f(a)g(b)\).

\(\displaystyle 0=h'(x_0)=[f(b)-f(a)]g'(x_0)-[g(b)-g(a)]f\, '(x_0)\),

Hier habe ich eine kompakte Zusammenfassung zu den verschiedenen Differenzierbarkeits-Begriffen bei Funktionen mehrerer Variablen in der wichtigen Implikationskette stetig partiell differenzierbar > total differenzierbar > differenzierbar in jede Richtung (Existenz der Richtungsableitungen) > partiell differenzierbar visualisiert.

Es enthält Beweisskizzen zu den Implikationen und Standardbeispiele (Gegenbeispiele) zum Beweis, dass die Umkehrungen nicht gelten.

Bei vektorwertigen, mehrdimensionalen Funktionen müssen die Definitionen auf ebensolche vektorwertigen Funktionen übertragen werden, d.h. die Differenzierbarkeit muss bezüglich der Komponentenfunktionen übereinstimmen.

Um eine Funktion effektiv auf Differenzierbarkeit zu untersuchen, musst du die Implikationen insta-wissen =)

Grundlegende Kenntnisse zu Stetigkeit, Jakobi-Matrix, Grenzwerte, Folgenstetigkeit, normierte Räume und zum Mittelwertsatz der Differentialrechnung sind nötig.

Bitte auf Fehler hinweisen. Viel Spaß =)


Leave a Comment

(0 Comments)

Your email address will not be published. Required fields are marked *